ОБОБЩЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ РАУСА В ТЕОРИИ ОРТОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК n-ГО ПОРЯДКА И ИХ ПРИЛОЖЕНИЕ К ЗАДАЧАМ О ДИСПЕРСИИ НОРМАЛЬНЫХ ВОЛН | Механика | композиционных | материалов и конструкций
> Том 28 > №3 / 2022 / Страницы: 399-431 download

ОБОБЩЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ РАУСА В ТЕОРИИ ОРТОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК n-ГО ПОРЯДКА И ИХ ПРИЛОЖЕНИЕ К ЗАДАЧАМ О ДИСПЕРСИИ НОРМАЛЬНЫХ ВОЛН

,

Аннотация:

Предложена новая формулировка начально-краевой задачи теории N-го порядка ортотропных оболочек, основанная на методах аналитической механики континуальных систем. Введена некоторая гладкая базисная поверхность, и на двумерном многообразии, соответствующем данной поверхности, определены криволинейные координаты. Модель нетонкой оболочки как трехмерного упругого тела определена множеством переменных поля первого рода, пространственной и граничной плотностями функционала Лагранжа. В качестве переменной поля первого рода рассмотрен псевдовектор перемещения, заданный ковариантными компонентами вектора истинного перемещения в базисе касательного расслоения двумерного многообразия. Компоненты псевдовектора обобщенного напряжения на площадках с нормалью, сонаправленной базисному вектору одной из криволинейных координат базисной поверхности, определены дифференцированием пространственной плотности функционала Лагранжа по ковариантным производным компонентов псевдовектора перемещения по выбранному направлению. Преобразованием Лежандра пространственной плотности функционала Лагранжа по данным ковариантным производным переменной поля получена пространственная плотность смешанного функционала, зависящего от переменных состояния — введенного псевдовектора напряжения, псевдовекторов перемещения и скорости, а также ковариантных производных компонентов псевдовектора перемещения по второму координатному направлению. Введена биортогональная базисная система функций нормальной координаты, определена система новых переменных состояния, заданных на касательном расслоении двумерного многообразия, соответствующего базисной поверхности, коэффициентами разложения переменных состояния по биортогональному базису. Поверхностная и контурная плотности смешанного функционала, определяющего двумерную модель оболочки, порождаются соответствующей редукцией пространственной и граничной плотностей смешанного функционала при удержании N+1 коэффициента разложения. Уравнения Эйлера-Лагранжа, вытекающие из принципа Гамильтона-Остроградского, разрешены относительно ковариантных производных новых переменных состояния и в определенном смысле эквивалентны уравнениям Рауса механики дискретных систем. Приложение обобщенных уравнений Рауса теории оболочек N-го порядка к задачам о дисперсии нормальных волн приводит к спектральной задаче, линейной относительно волнового числа, позволяющей построить действительные, мнимые и комплексные ветви дисперсионных кривых, соответствующие распространяющимся и затухающим модам. Для изотропного плоского слоя получено решение спектральной задачи и исследована сходимость решения на базе теории N-го порядка для мнимых ветвей к точному решению во втором квадранте комплексной плоскости в некоторых узлах решетки Миндлина.

1