Построено точное решение квазистатической задачи о напряженно-деформированном состоянии составной толстостенной трубы, состоящей из нескольких слоев нелинейно вязкоупругих изотропных материалов, каждый из которых подчиняется нелинейному определяющему соотношению Работнова с разными парами произвольных материальных функций одного аргумента и постулату несжимаемости, при нагружении давлениями на внутренней и внешней поверхностях трубы, медленно меняющимися во времени, и задании нулевого осевого перемещения на торцах трубы. Проведено расщепление системы нелинейных интегральных уравнений для неизвестных радиальных напряжений на границах слоев и функций, описывающих поле деформаций каждого слоя, и ее решение сведено к одному нелинейному интегральному уравнению для одной неизвестной функции времени, зависящему от материальных функций слоев трубы, их относительных толщин и заданных на границах трубы давлений. Для любых материальных функций слоев трубы перемещения, деформации и напряжения в любой точке трубы в любой момент времени и нормальные напряжения на границах слоев выражены через эту функцию времени явными формулами. Доказано, что в любой момент времени полная продольная сила, возникающая в поперечном сечении трубы, не зависит (в отличие от напряжений и деформаций) от количества слоев трубы и их толщин, от пар материальных функций, задающих вязкоупругие свойства, и от предыстории изменения нагрузки, а зависит лишь от мгновенных значений заданных давлений и радиусов двух радиусов трубы, на которых задана нагрузка, и совпадает с силой, найденной из решения задачи Ламе для однородного линейно упругого несжимаемого материала (хотя осевые напряжения не постоянны по сечению). Для модели трубы со степенной функции нелинейности в случае пропорциональности всех функций ползучести материалов слоев одной и той же (произвольно заданной) функции времени построено точное решение ключевого интегрального уравнения, вычислены все интегральные операторы, входящие в общее решение, и выведены простые алгебраические формулы для деформаций и напряжений в любой точке трубы.