ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ СОСТАВНЫХ УПРУГИХ СИСТЕМ СО СВЯЗЯМИ | Механика | композиционных | материалов и конструкций
> Том 26 > №1 / 2020 / Страницы: 139-150

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ СОСТАВНЫХ УПРУГИХ СИСТЕМ СО СВЯЗЯМИ

,

Аннотация:

Рассматривается нестационарное движение двух упругих систем, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями в обобщенных координатах. Считается, что в исходном состоянии или в процессе трансформации эти две системы соединяются между собой в конечном числе точек упругими или геометрическими голономными связями. На основании принципа возможных перемещений (Даламбера-Лагранжа) получены уравнения движения составной системы в тех же самых обобщенных координатах с учетом связей. При этом упругие связи учитываются путем добавления потенциальной энергии деформации соединительных элементов, которая выражается с использованием условий соединения через обобщенные координаты двух систем. Геометрические связи учитываются в вариационном уравнении путем добавления вариации работы неизвестных реакций удержания связей при их малых возможных изменениях и выражаются через вариации обобщенных координат рассматриваемых систем. Из этого расширенного вариационного уравнения получаются уравнения составной системы, к которым добавляются алгебраические уравнения геометрических связей. Этот подход эквивалентен подходу получения уравнений в обобщенных координатах с неопределенными множителями Лагранжа, представляющими реакции в связях. В качестве примера рассмотрена система, состоящая из упругой на изгиб, нерастяжимой консольной балки, совершающей нелинейные в квадратичном приближении продольно-поперечные колебания, на конце которой шарнирно присоединено тяжелое твердое тело, поворачивающееся на конечный угол. Изгиб балки представляется по методу Ритца двумя обобщенными координатами. Две линейные связи по перемещениям балки и тела в шарнире удовлетворяются точно, а третья нелинейная связь, представляющая условие нерастяжимости балки, добавляется к уравнениям движения системы, включающим неизвестную реакцию удержания этой связи. Получены численные решения начальной задачи о вынужденных нелинейных колебаниях балки с присоединенным телом в двух вариантах со сравнениями: 1) нелинейная связь удовлетворяется аналитически точно, а неизвестная реакция исключается из уравнений колебаний; 2) связь дифференцируется по времени и удовлетворяется путем численного интегрирования совместно с дифференциальными уравнениями движения системы.

3