В настоящей работе изучены колебания круглой вязкоупругой пластины переменной жесткости с различными условиями опирания на границе, в том числе при наличии вязкоупругих связей (задача в упругом случае исследована авторами ранее). В случае установившихся колебаний вязкоупругие связи в граничных условиях характеризуются двумя комплексными коэффициентами, зависящими от частоты колебаний. В рамках вариационного принципа Лагранжа для неоднородной пластины был сформулированы и решены численно с помощью метода Ритца три вспомогательные задачи, не содержащие этих коэффициентов, исследовано влияние числа координатных функций на точность построенного решения и зависимость его от частоты колебаний. Решение сформулированной задачи отыскивается в виде линейной комбинации построенных трех решений, а удовлетворение граничным условиям позволяет установить дробно-рациональную структуру решения в зависимости от коэффициентов в граничных условиях. В рамках этой модели также была поставлена и решена задача реконструкции параметров вязкоупругих связей на основе известного (измеренного) прогиба в наборе точек на фиксированной частоте. На основе установленной дробно-рациональной структуры прогиба от искомых коэффициентов построена система нелинейных алгебраических уравнений для нахождения искомых коэффициентов связей, каждое из которых задает условную гиперболическую зависимость в комплексном пространстве. Представлен способ отбора единственного решения, приведены вычислительные эксперименты для различных сегментов изменения коэффициентов (слабое опирание, жесткое опирание), выявлены диапазоны, в которых реконструкция осуществляется успешно с небольшой погрешностью и когда погрешность велика. Проведена оценка влияния неучета вязкоупругости заделки на реконструкцию амплитуды нагрузки.