№4-2021

Полные версии статей
https://elibrary.ru/contents.asp?id=47460294

Белов П.А., Кривень Г.И., Лурье С.А., Шрамко К.К.

О КОРРЕКТНОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПОСТАНОВКИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ В ГРАДИЕНТНОЙ УПРУГОСТИ

Градиентные теории упругости содержат по определению масштабные параметры и поэтому, естественно, что они являются весьма привлекательными для моделирования масштабных эффектов в механике материалов с микро-наноструктурой, для исследования фазовых превращений с образованием межфазных слоев, меняющих микроструктуру материалов, модифицированных композитов с наноструктурами на волокнах, а также при исследовании связных проблем термомеханики и гидродинамики и др. Появление параметров масштаба в градиентных моделях связано с тем, что в качестве аргументов при вариационном описании таких моделей рассматриваются не только деформации, но и их градиенты. В результате, определяющие уравнения в градиентных моделях первого порядка определяются не только тензором упругих свойств четвертого ранга, но и в общем случае тензорами упругости пятого и шестого ранга, отличающихся по размерности от классических модулей упругости. В работе обсуждается симметрия тензоров модулей упругости шестого ранга при перестановке индексов дифференцирования в градиентной упругости, которая является следствием того, что вторые производные вектора перемещений не зависят от порядка дифференцирования. Отмечается, что имеют место случаи, когда для корректных постановок прикладных краевых задач необходимо использовать в краевых условиях тензоры модулей упругости шестого ранга, симметричные при перестановке индексов дифференцирования (симметричные по последним индексам моментные напряжения) даже если формально построенные варианты прикладных градиентных теорий лишены этого признака симметрии. Показано, что игнорирование свойства симметрии тензора модулей шестого ранга при перестановке индексов дифференцирования может приводить к существенным погрешностям по сравнению с корректными решениями, учитывающими этот признак.

Страницы: 447-458  doi.org/10.33113/mkmk.ras.2021.27.04.447_458.01

Байгонакова Г.А., Ветрова А.В., Гарин А.С., Гюнтер С.В., Марченко Е.С., Ясенчук Ю.Ф.

ЭФФЕКТ РАЗМЯГЧЕНИЯ ПРИ ЦИКЛИЧЕСКОМ РАСТЯЖЕНИИ ТРИКОТАЖА ИЗ НИКЕЛИДА ТИТАНА

Методом мягкого отнулевого циклического растяжения и растяжения до разрыва исследованы образцы трикотажа, выполненного из проволоки TiNi толщиной 40 мкм, 60 мкм и 90 мкм. Обнаружено, что металлотрикотаж, при растяжении ведет себя как гиперупругий материал. Эффект сверхэластичности обнаружен у проволоки TiNi, но не проявился в трикотаже, выполненном из нее. При циклическом растяжении металлотрикотажа обнаружен эффект размягчения и запаздывания упругой разгрузки. С применением расчетных моделей Гента, Нео-Гука, Муни-Ривлина, Бергстрома-Бойса проведен расчет циклического растяжения трикотажного материала, используя экспериментальные данные циклического растяжения трикотажных лент из никелида титана. Обнаруженное подобие гиперупругого поведения металлотрикотажа и расчетных моделей позволят разработать методику сравнительной оценки трикотажных материалов из проволоки никелида титана разной толщины и критерии выбора трикотажного материала для пластики гиперупругих биологических тканей. Основными критериями реологического подобия металлотрикотажа и мягких тканей можно считать: величину предела прочности; модули упругости и диапазон низкомодульной и высокомодульной упругой деформации при нагрузке и разгрузке; величину остаточной деформации при циклическом растяжении. Обнаружено, что металлотрикотаж из сверхэластичной проволоки TiNi при мягком отнулевом циклическом растяжении проявляет резиноподобное поведение, свойственное гиперупругим материалам. При этом в наиболее нагруженных контактных участках сверхэластичной проволоки TiNi мартенситный фазовый переход не оказал влияния на диаграмму растяжения гиперупругого трикотажа. Остаточная макродеформация при первых двух циклах растяжения обусловлена проскальзыванием петель на контактных участках при нагрузке и трением, которое противодействует восстановлению упругой деформации при разгрузке. При циклической нагрузке металлотрикотажа из TiNi обнаружен эффект размягчения и запаздывания упругой разгрузки. Этот эффект обусловлен неоднородностью распределения упругой нагрузки в петлях трикотажа и трением в контактных участках петель, которое оказывает сопротивление упругой деформации петель. Установлено, что модель Бергстрома-Бойса, наиболее близка по диаграмме напряжение-деформация диаграмме трикотажной ленты.

Страницы: 459-481  doi.org/10.33113/mkmk.ras.2021.27.04.459_481.02

Федоров Л.В.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ УПРУГИХ ПОСТОЯННЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СЕТЧАТЫХ КОМПОЗИТНЫХ СТРУКТУР

В настоящее время в ракетной и космической технике находят широкое применение сетчатые композитные пластины и оболочки, образованные системой ребер. Такие конструкции, изготовленные из современных материалов, обеспечивают высокую весовую эффективность. В статье рассматривается один из вариантов получения осредненных упругих характеристик сетчатых композитных конструкций, обладающих регулярной периодической структурой. Если на поверхности оболочки или пластины, образованной системой ребер, имеется периодически повторяющийся элемент, транслируя который можно получить всю поверхность, то возможно заменить реальную дискретную структуру некоторой условной гладкой с приведенными упругими характеристиками. Такая замена является особенно актуальной при проведении расчетов на стадии проектирования. В работе для получения упругих постоянных сетчатых структур используется теорема Гельмгольца, с помощью которой в упругом теле связываются перемещения близких точек. Потенциальную энергию деформации ячейки периодичности можно выразить через энергию составляющих ее ребер. Энергию деформации самих ребер можно записать через кинематические факторы на концах ребер. С помощью теоремы Гельмгольца перемещения на краях ребер можно связать с перемещениями и деформациями сплошной среды. Представляя энергию деформации исходной системы ребер как сумму энергий всех ячеек, можно в итоге получить выражение для удельной потенциальной энергии деформации сплошной среды. Далее, используя теорему Кастильяно, можно найти выражения для связи между усилиями и деформациями такой среды. Полученные физические соотношения позволяют далее получить выражения для силовых факторов непосредственно в ребрах. В работе рассмотрены структуры, состоящие из нескольких систем ребер.

Страницы: 482-490  doi.org/10.33113/mkmk.ras.2021.27.04.482_490.03

Власов Д.А., Зерцалов М.Г.

АНАЛИТИЧЕСКОЕ И ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О ВЗАИМОДЕЙСТВИИ СВАИ С ГРУНТОМ

В работе построено точное аналитическое решение краевой задачи теории упругости о плосконапряженном состоянии полуплоскости с периодической системой линейных полубесконечных одномерных включений (ребер жесткости) ортогональных к поверхности. Аналитическое решение представляется в виде рядов по собственным функциям Папковича-Фадля, коэффициенты которых находятся точно с помощью функций биортогональных к собственным, а сами ряды равносходятся с тригонометрическими. Полученное решение применяется для оценки напряженно-деформированного состояния массива дисперсного и скального грунта при его взаимодействии с вертикально нагруженной сваей. При этом в аналитическом решении расстояние между ребрами жесткости принимается равным зоне влияния нагруженной сваи. Кроме того, считается, что на границе контакта свая-грунт реализуются идеальные контактные условия. Приводится сравнение аналитического решения задачи о взаимодействии сваи с грунтом с численным решением, которое было получено в 3D постановке с использованием метода конечных элементов (МКЭ), реализованном в программном комплексе ZSoil. Сравнение показывает, что использование точных решений двумерных задач теории упругости может быть достаточно эффективным при оценке напряженно-деформированного состояния массива дисперсного и скального грунта, взаимодействующего с нагруженной сваей.

Страницы: 491-499  doi.org/10.33113/mkmk.ras.2021.27.04.491_499.04

Дьякова Г.Н., Крень А.П., Протасеня Т.А.

ОЦЕНКА ВЛИЯНИЯ РЕЖИМОВ ТЕРМИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ИЗДЕЛИЙ ИЗ ФОТООТВЕРЖДАЕМЫХ ПОЛИМЕРОВ, ИЗГОТОВЛЕННЫХ ПО ТЕХНОЛОГИИ ЛАЗЕРНОЙ СТЕРЕОЛИТОГРАФИИ, НА ИХ ФИЗИКО-МЕХАНИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Рассмотрено влияние термической обработки изделий, полученных путем лазерной стереолитографии, на их физико-механические характеристики. Установлено, что отжиг образцов из отвержденной фотополимерной смолы Formlabs Standard White V04 при 60оС в течение часа приводит к существенному увеличению модуля упругости и предела прочности, что подтверждено результатами стандартных испытаний. В качестве альтернативы разрушающим испытаниям для контроля упругих и прочностных свойств изделий из отвержденных фотополимерных смол предложено использовать метод динамического индентирования. Приведены аналитические выражения для расчета твердости и модуля упругости исследуемых материалов по основным параметрам регистрируемой диаграммы ударного нагружения. На основании экспериментальных данных получены градуировочные зависимости между значениями предела прочности и модуля упругости, установленными в ходе стандартных испытаний, и твердостью и модулем упругости, измеренными методом локального ударного деформирования с использованием сферического индентора. Показано, что данные зависимости имеют линейный характер и позволяют в рассматриваемом диапазоне изменения свойств измерить методом динамического индентирования предел прочности с погрешностью не более 4%, а модуль упругости — с погрешностью не более 3%. Установлено, что метод ударного локального деформирования обладает достаточной чувствительностью к изменению физико-механических характеристик отвержденных полимерных материалов, вызванному термическим воздействием, и может быть использован как для отладки технологических режимов термообработки изделий, полученных по SLA-технологии, так и для оперативного контроля их качества.

Страницы: 500-510  doi.org/10.33113/mkmk.ras.2021.27.04.500_510.05

Саганов Е.Б.

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРЯМОГО МАРТЕНСИТНОГО ПРЕВРАЩЕНИЯ В СПЛАВАХ С ПАМЯТЬЮ ФОРМЫ С УЧЕТОМ ИХ РАЗНОСПРОТИВЛЯЕМОСТИ

Работа посвящена численному моделированию прямого мартенситного превращения (ПМП) в сплавах с памятью формы (СПФ) с учетом их разносопротивляемости. Под разносопротивляемостью понимается зависимость напряженно-деформированного состояния (НДС) этих сплавов от вида напряженного состояния. В качестве параметра вида напряженного состояния используется параметр, связанный с третьим инвариантом девиатора напряжений. Численное моделирование ПМП выполнено с использованием метода конечных элементов. В качестве модели материала использовалась модель нелинейного деформирования СПФ при фазовых и структурных превращениях. В ходе работы получена скоростная матрица жесткости, соответствующая процессу охлаждения образца из СПФ через интервал температур ПМП. Полученная в работе скоростная матрица жесткости учитывает переменность упругих моделей СПФ при фазовом переходе и зависимость накапливаемой фазовой деформации в процессе охлаждения от величины действующего напряжения. Процесс охлаждения рассматривается в однократно связанной постановке, с учетом влияния действующего напряжения на величины температур прямого превращения. Верификация пользовательской модели материала выполнена на основе аналитического решения задачи о брусе из СПФ, находящегося под действием постоянного растягивающего напряжения и претерпевающего охлаждение через интервал температур ПМП. В рамках работы произведен расчет НДС сферической толстостенной оболочки из СПФ, находящейся под действием постоянного внутреннего или внешнего давления при ее охлаждении через интервал температур ПМП. Установлено, что в процессе охлаждения оболочки как при действии постоянного внутреннего, так и внешнего давления параметр вида напряженного состояния не зависит от радиальной координаты оболочки. В случае действия внутреннего давления параметр вида напряженного состояния соответствует случаю чистого сжатия, при действии внешнего — чистого растяжения.

Страницы: 511-522  doi.org/10.33113/mkmk.ras.2021.27.04.511_522.06

Думанский С. А.

АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ СТОЙКИ ШЕНЛИ НА СТЕРЖНЯХ ИЗ СПЛАВОВ С ПАМЯТЬЮ ФОРМЫ ПРИ ОБРАТНОМ ФАЗОВОМ ПРЕВРАЩЕНИИ В РАМКАХ ОБЪЕДИНЕННОЙ МОДЕЛИ ФАЗОВО-СТРУКТУРНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ

Сплавы с памятью формы (СПФ) во многих приложениях используются как исполнительные механизмы или неподвижные части составных конструкций. В обоих случаях они часто функционируют под действием переменных температур и нагрузок, часто являющихся сжимающими. Это приводит к необходимости проводить анализ устойчивости данных элементов. Из-за сложного термомеханического поведения СПФ и отсутствия единого подхода к описанию их напряженно-деформированного состояния расчет устойчивости существенно осложняется даже для объектов с простейшей геометрией. Ввиду оговоренных трудностей и малого числа работ, посвященных данной теме, была предпринята попытка решить задачу устойчивости одномерного нагружения, используя при этом наиболее полную модель поведения СПФ. Данная работа посвящена аналитическому исследованию устойчивости стойки Шенли на стержнях из СПФ при обратном фазовом превращении под действием постоянной нагрузки. Впервые для подобной задачи применяется объединенная модель неупругого деформирования СПФ. Рассматриваются два способа подготовки стержней перед началом обратного превращения, а именно деформирование в режиме мартенситной неупругости и прямое фазовое превращение под действием постоянной нагрузки. В качестве критерия потери устойчивости используется квазистатический метод Эйлера, который позволяет линеаризовать кинематические ограничения и статические уравнения равновесия, по отношению к малым углам отклонения стойки от вертикального положения. Сравниваются концепции фиксированной и варьируемой внешней нагрузки при переходе к смежной форме равновесия. Для корректности постановки в концепции варьируемой внешней нагрузки вводится ряд гипотез относительно порядка малости величин, которые могут получать приращения во время потери устойчивости. В зависимости от учета связей между различными параметрами состояния при переходе к смежной форме равновесия задача рассматривается в трех постановках: несвязанной, связанной относительно приращений напряжений, связанной как относительно приращений напряжений, так и термомеханически.

Страницы: 523-542  doi.org/10.33113/mkmk.ras.2021.27.04.523_542.07

Гаганова Н.В.

ОПИСАНИЕ СВЕРХУПРУГОСТИ В РАМКАХ ОБЪЕДИНЕННОЙ МОДЕЛИ ДЕФОРМИРОВАНИЯ СПЛАВОВ С ПАМЯТЬЮ ФОРМЫ С УЧЕТОМ ТРАНСЛЯЦИОННОГО УПРОЧНЕНИЯ И РАЗВИТИЯ МАРТЕНСИТНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Рассматривается объединенная модель фазового и структурного деформирования сплавов с памятью формы, позволяющая учесть как деформационное, так и трансляционное упрочнение, а также описать явление ориентированного превращения. Модель построена с учетом того, что фазовые деформации могут увеличиваться как при уменьшении нагрузки, так и при ее отсутствии. Используется понятие поверхности нагружения в пространстве напряжений и активного процесса, причем приращение структурных деформаций в активном процессе определяется ассоциированным законом по аналогии с теориями пластичности. Вводятся условия активного нагружения, согласно которым тензор приращений структурных деформаций должен быть сонаправлен внешней нормали к поверхности нагружения, а параметр упрочнения, связанный со структурным переходом, должен быть положителен. В большинстве моделей сплавов с памятью формы учитывается только образование новых мартенситных элементов, но не их дальнейшее увеличение. Между тем эксперименты показывают, что развитие мартенситных элементов может заметно влиять на значения деформаций. В рассматриваемой модели вводится специальная материальная функция, определяющая соотношение между процессами зарождения и развития мартенситных элементов. Поскольку температура, при которой начинается фазовый переход в сплавах с памятью формы, зависит от действующих напряжений, фазовые переходы при определенных условиях могут происходить при постоянной температуре. В данной работе объединенная модель применяется для описания явления сверхупругости в никелиде титана. Моделируется переход от линейной зависимости деформаций от напряжений к нелинейной при достижении пороговых значений напряжений и соответствующем фазово-структурном превращении. Проведено сравнение результатов для разных материальных функций. В случае учета развития мартенситных элементов значения фазово-структурных деформаций оказываются выше. Полученные графики показывают, что модель качественно правильно описывает нелинейный рост деформаций под действием монотонно изменяющихся напряжений при постоянной температуре и явление сверхупругости. При монотонно возрастающих напряжениях при постоянной температуре влияние развития мартенситных элементов оказывается менее заметным, чем при убывающих напряжениях.

Страницы: 543-557  doi.org/10.33113/mkmk.ras.2021.27.04.543_557.08

Киреенков А.А., Федотенков Г.В.

МОДЕЛЬ СИЛОВОГО КОНТАКТА КОМПОЗИТНОЙ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ С ТВЁРДОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ С УЧЁТОМ КОМБИНИРОВАННОГО АНИЗОТРОПНОГО СУХОГО ТРЕНИЯ

Рассматривается движение упругой композитной оболочки по твердой шероховатой повехрности при наличии комбинированного анизотропного сухого трения. Эта модель может быть использована для исследования динамики пневматиков (авиационных и автомобильных) в условиях сложной кинематики, а также различных управляемых робототехнических систем. Для корректного учета влияния анизотропии коэффициентов сухого трения в таких системах, требуется построение приближенных аналитических моделей силового состояния внутри пятна контакта с учетом реального распределения нормальных и касательных контактных напряжений. Распределение контактного давления строится с использованием уравнения С.А. Амбарцумяна для трансверсально изотропной сферической оболочки. Это уравнение модифицируется путём введения дополнительных соотношений для приведённого контактного давления и нормальных перемещений. Построение разрешающего интегрального уравнения относительно контактного давления основано на принципе суперпозиции и методе функций Грина. Для этого строится соответствующая функция Грина, представляющая собой нормальные перемещения оболочки как решение задачи о воздействии сосредоточенного давления. Функция Грина так же, как и контактное давление, разыскивается в виде разложений в ряды по полиномам Лежандра с учётом дополнительных соотношений для приведённого контактного давления и нормальных перемещений. С использованием функции Грина построено разрешающее задачу интегральное уравнение. В результате задача состоит в определении коэффициентов разложения в ряд приведённого контактного давления. Ограничиваясь конечным числом членов рядов разложений, с использованием дискретизации области контакта и свойств полиномов Лежандра задача сводится к решению системы алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложения для приведённого контактного давления. После этого из дополнительного соотношения определяются коэффициенты разложения искомого контактного давления в ряд по полиномам Лежандра.

Страницы: 558-569  doi.org/10.33113/mkmk.ras.2021.27.04.558_569.09

Зверев Н.А., Земсков А.В., Тарлаковский Д.В.

НЕСТАЦИОНАРНАЯ МЕХАНОДИФФУЗИЯ СПЛОШНОГО ОРТОТРОПНОГО ЦИЛИНДРА, НАХОДЯЩЕГОСЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ РАВНОМЕРНОГО ДАВЛЕНИЯ, С УЧЕТОМ РЕЛАКСАЦИИ ДИФФУЗИОННЫХ ПОТОКОВ

Рассматривается полярно-симметричная задача механодиффузии для ортотропного сплошного многокомпонентного цилиндра, находящегося под действием равномерно распределенного по поверхности внешнего давления. Приложенные нагрузки инициируют массоперенос, который в свою очередь влияет на напряженно-деформированное состояние цилиндра. В качестве математической модели используется связанная система дифференциальных уравнений упругой диффузии в цилиндрической системе координат, которая учитывает релаксационные диффузионные эффекты, подразумевающие конечные скорости распространения диффузионных потоков. Задача решается с помощью метода эквивалентных граничных условий, заключающегося в том, что вначале рассматривается некоторая вспомогательная задача, решение которой известно и отличающаяся от исходной задачи только граничными условиями. Затем строится соотношение, связывающее правые части граничных условий обеих задач. Указанное соотношение представляет собой интегральное уравнение, решение которого ищется с помощью квадратурных формул. Из этого уравнения находятся правые части граничных условий вспомогательной задачи. В результате решение исходной задачи находится в виде сверток функций Грина вспомогательной задачи с функциями, полученными при решении вышеуказанного интегрального уравнения. Метод эквивалентных граничных условий разработан для начально-краевых задач, решение которых невозможно получить методом разделения переменных. Для нестационарных задач он является полуаналитическим, в стационарных и статических задачах он позволяет получить решение в аналитической форме. На примере трехкомпонентного материала выполнено исследование взаимодействия механического и диффузионного полей в сплошном ортотропном цилиндре. Исследованы предельные переходы к статическим механодиффузионным режимам, а также к классическим моделям упругости. Промоделировано влияние релаксационных эффектов на кинетику массопереноса в сплошных средах. Результаты исследований представлены в аналитической и графической формах.

Страницы: 570-586  doi.org/10.33113/mkmk.ras.2021.27.04.570_586.10

Жаворонок С.И.

ОБРАТНЫЕ ИНКРЕМЕНТАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ СОВМЕСТНОСТИ ДЕФОРМАЦИЙ ДЛЯ СПЛАВА С ПАМЯТЬЮ, ПРЕТЕРПЕВАЮЩИХ СТРУКТУРНЫЕ ПРЕВРАЩЕНИЯ

Получены обратные инкрементальные определяющие соотношения и уравнения совместности для сплава с эффектом памяти, претерпевающего изотермический структурный переход при изменении напряжения в мартенситном состоянии. Уравнения выведены на основе однократно связной модели термоупругих фазово-структурных превращений в сплавах с памятью в геометрически линейной постановке задачи. Предполагается, что в начальной точке процесса структурного перехода сплав представляет собой полностью сдвойникованный мартенсит при нулевых напряжениях. В процессе перехода происходит раздвойникование. При этом фазовый состав сплава остается полностью мартенситным, что соответствует т.н. явлению мартенситной неупругости. При построении определяющих соотношений и уравнений совместности, во-первых, тензор линейной деформации представлен аддитивным разложением на тензор упругой деформации и девиатор структурной деформации, во-вторых, введено аддитивное разложение тензоров упругой и структурной деформации на накопленную деформацию и некоторые малые приращения. Тензор суммарной накопленной деформации предполагается удовлетворяющим уравнению совместности. Приращение девиатора структурной деформации определяется линейной зависимостью от приращения интенсивности девиатора напряжения. Приращение дилатации порождается только упругим деформированием. Получена линеаризованная относительно приращений тензоров суммарной деформации и напряжения форма записи инкрементальных определяющих соотношений, аналогичная уравнениям закона Гука для анизотропной среды, причем мгновенная анизотропия описывается тензором структурной податливости, представляющим собой билинейную функцию компонентов девиатора напряжения. Получены новые инкрементальные уравнения совместности в форме Бельтрами.

Страницы: 587-593  doi.org/10.33113/mkmk.ras.2021.27.04.587_593.11