БИМЕТАЛЛИЧЕСКАЯ ПЛАСТИНА В ОДНОРОДНОМ ТЕМПЕРАТУРНОМ ПОЛЕ

Рассматривается равновесное термоупругое состояние тел, связанных тонким плоским слоем. Полагается, что сопротивление слоя взаимодействия изгибным деформациям незначительно (мягкий слой). При описании напряженно-деформированного состояния слоя используются осредненные по его толщине характеристики, выражаемые через граничные перемещения по закону Дюгамеля-Неймана. В результате задача о температурных деформациях в композиции тел с различными термомеханическими характеристиками сводится к системе вариационных уравнений относительно полей перемещений в двух телах, разделенных слоем взаимодействия. Дана частная постановка задачи о температурных воздействиях на биметаллическую пластину. При этом перемещения по толщине пластин выражаются через перемещения границ слоя взаимодействия и углы поворота нормалей к ним. Задача сводится к системе шести дифференциальных уравнений второго порядка. Рассмотрены температурные деформации биметаллической пластины, защемленной на одном краю и свободной на другом.
В случае нулевой толщины слоя взаимодействия получен закон изменения линии сопряжения пластин вдоль их длины в зависимости от температуры. При однородном состоянии (чистый изгиб) кривизна линии сопряжения становится постоянной. В случае нулевого коэффициента Пуассона приходим к известной зависимости кривизны от температуры.
Получено аналитическое решение при конечной толщине слоя взаимодействия и однородном по толщине пластин распределении деформаций. При несимметричной структуре композита тепловое воздействие приводит к односторонним неравномерным перемещениям пластин. В случае симметричной структуры учет граничных условий приводит к неравномерному симметричному распределению перемещений. Неравномерности имеют характер краевых эффектов, связанных с учетом сдвиговых деформаций.

РАСЧЕТ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ В СИСТЕМЕ «ПОДЛОЖКА – ПОКРЫТИЕ» ПРИ ТЕПЛОВОМ НАГРУЖЕНИИ

Аналитически исследовано напряженно-деформированное состояние (НДС) свободной от внешних усилий и закреплений конструкционной стенки «подложка – покрытие» при плавном тепловом нагружении. Рассмотрена односвязная задача термоупругости в постановке для плоского напряженного состояния. Оценка НДС осуществлена в безмоментном приближении (без учета изгиба) в предположении постоянства температуры по толщине стенки. Построены температурные зависимости тепловых напряжений в слоях стенки. Выявлено, что текущий уровень напряжений в слоях зависит, прежде всего, от разницы коэффициентов температурного линейного расширения материалов подложки и покрытия, а также от значений их модулей упругости, коэффициентов Пуассона и толщин. Построенное численное решение на базе метода конечных элементов (МКЭ) краевой задачи классической термоупругости, соответствующей модели, положенной в основу аналитического решения, привело к идентичным результатам. Выявлены недостатки и ограничения, вносимые в решение рассматриваемыми допущениями. Предложено уточненное решение задачи определения НДС в системе «подложка – покрытие» при тепловом нагружении на базе МКЭ, учитывающее изгибные деформации. Решение получено для полубесконечной пластины в постановке для обобщенной плоской деформации. Учет изгиба привел к существенному изменению уровня и характера распределения тепловых напряжений по толщине стенки. Показано, что расчет НДС без явного учета геометрической формы подложки даже в простейшем случае полубесконечной пластины приводит к недопустимым погрешностям. Выработаны основные требования к конечно-элементным моделям, применяемым к исследованию НДС в системе «подложка – покрытие». Оценка уровня и характера распределения напряжений позволяет научно подойти к разработке архитектуры покрытий (выбору химического и фазового состава слоев, их количества и толщин), а также существенно сократить количество экспериментальных исследований и испытаний, время и затраты на их реализацию.

ВЫСОКОСКОРОСТНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЕСТЕСТВЕННЫХ И ТЕХНОГЕННЫХ ЧАСТИЦ С ЭЛЕМЕНТАМИ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ

Исследованы процессы высокоскоростного взаимодействия текстолита и стекла с алюминиевыми и стальными частицами, моделирующими техногенный космический мусор, а также с ледяными и гранитными частицами, моделирующими естественные материалы природных космических тел. Объектами исследования данной работы являлись процессы деформирования и разрушения элементов космических аппаратов из стекла и текстолита при воздействии высокоскоростных частиц естественного и техногенного происхождения. Для этого проводились эксперименты с легкогазовой установкой по метанию микрочастиц со скоростью до 7 км/сек и разработка математических моделей соударения частиц с различными преградами. Для расчета упругопластических течений используется методика, реализованная на тетраэдрических ячейках и базирующаяся на совместном использовании метода Уилкинса для расчета внутренних точек тела и метода Джонсона для расчета. контактных взаимодействий. Также в работе используется вариант метода SPH Численный метод основан на использовании слабой вариационной постановки. Параметр сглаживания рассматривается как скрытая переменная состояния и учитывает ее влияние на физические процессы: изменение параметра сглаживания отдельных узлов эквивалентно изменению соответствующего относительного объема, что влияет на напряженно-деформированное состояние материала и как следствие – является специфической формой деформирования, что явно учитывается в расчете. Расчет ускорений узлов основывается на определении обобщенных сил, которые находятся из оценки влияния перемещения узлов на поле деформации в их окрестностях (вместо непосредственного дифференцирования поля напряжений). Эффективность исследований определилась наличием как уникальных установок для высокоскоростного метания твердых тел, так и комплексным численным моделированием исследуемых явлений. Предложенные в работе подходы к моделированию взаимодействия частиц космического мусора и элементов космических аппаратов позволяют рассчитывать напряженно-деформированное состояние, разрушение и фрагментацию стеклянных и текстолитовых элементов космических аппаратов в трехмерной постановке при выскоинтенсивном нагружении.

О РАЗРУШЕНИИ МЕТЕОРНЫХ ТЕЛ В АТМОСФЕРЕ ЗЕМЛИ

Настоящая работа посвящена математическому моделированию механизмов разрушения метеорных тел в атмосфере Земли. В качестве примера проанализировано движение и разрушение трех конкретных метеоритов – Куня-Ургенчского (1998г.), Суданского (2008г.) и Челябинского (2013г.), которые различаются своими размерами, свойствами и составом материала, и траекторными параметрами. Явления движения и разрушения в настоящей работе исследуются на основе расширенных уравнений метеорной физики. Важным фактором, который здесь учитывается, – это переменность параметра уноса массы метеорита под действием тепловых потоков вдоль траектории полета. Статистика падений метеоритов показывает, что большая часть их, в том числе и рассматриваемые тела, падают на Землю раздробленными кусками, поэтому расчет уноса массы требует учета их дробления. Процесс фрагментации метеорита в настоящей работе рассматривается в рамках модели последовательного дробления с учетом влияния масштабного фактора на предел прочности объекта. На завершающем этапе движения метеорных тел процесс разрушения может продолжиться за счет температурных напряжений. В связи с этим оценивается характер возникающих напряжений из-за неоднородности температурного поля на примере шарообразного тела.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЖЕСТКОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК МАТЕРИАЛОВ КОМПОЗИТНЫХ ОПОР-ОБОЛОЧЕК УЛЬТРАКОМПАКТНЫХ ВЫСОКОВОЛЬТНЫХ ЛИНИЙ ЭЛЕКТРОПЕРЕДАЧ

Предлагается методика определения модулей упругости на растяжение и сжатие стеклопластика – композиционного материала оболочек опор воздушных линий электропередач. Опора представляет собой тонкую коническую оболочку с углом конусности ≈89°. Оболочка формируется с помощью косослойной продольно-поперечной намотки. Как показали расчеты, стеклопластиковые опоры с большим коэффициентом запаса удовлетворяют ограничениям по несущей способности, но требованиям по перемещениям удовлетворить сложно из-за недостаточной жесткости стеклопластика. Требуются экспериментальное определение характеристик жесткости материала, из которого изготовлена конструкция. При этом конструктивные особенности и технологические особенности изготовления требуют, чтобы образцы были вырезаны именно из оболочки опоры. Материал считается трансверсально-ортотропным. Экспериментально доказано, что модули упругости на сжатие и растяжение различны. Предложена экспериментально-аналитическая методика определения модулей упругости и коэффициентов Пуассона для главных направлений ортотропии. В меридиональном направлении модули определяются экспериментально. Для определения модулей упругости в кольцевом направлении используется методика численного определения модуля упругости на сжатие на основе экспериментальных данных. Приведен пример экспериментально – аналитического определения модулей упругости материала, оболочки макета опоры линии электропередач. Показано, что модуль упругости на растяжение превышает модуль упругости на сжатие.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ О МАРТЕНСИТНОЙ НЕУПРУГОСТИ И ПРЯМОМ ФАЗОВОМ ПРЕВРАЩЕНИИ В БАЛКЕ ИЗ СПЛАВА С ПАМЯТЬЮ ФОРМЫ С УЧЕТОМ УПРУГИХ ДЕФОРМАЦИЙ И РАЗНОСОПРОТИВЛЯЕМОСТИ ЭТИХ СПЛАВОВ

В работе решены задачи о чистом и консольном изгибе балок сплошного прямоугольного сечения из сплава с памятью формы (СПФ) при прямом термоупругом фазовом и структурном превращениях. Анализ проведен на основе модели нелинейного деформирования СПФ при фазовых и структурных превращениях. В работе принимаются положения об активных процессах пропорционального нагружения, а задачи изгиба балки рассматриваются в рамках гипотез Бернулли-Эйлера. Учитывается упругая составляющая полных деформаций, а также асимметрия кривых деформирования для образцов из СПФ при их растяжении и сжатии. Полуобратным методом получено численное решение задач в несвязной постановке. Построены графики зависимости безразмерной координаты нейтральной плоскости и безразмерной кривизны балки от величины безразмерного изгибающего момента. Для задачи о прямом превращении установлено, что зависимость безразмерной кривизны балки от величины параметра фазового состава является линейной, а безразмерные нормальные продольные напряжения в сечении балки являются функцией параметра фазового состава. Показано влияние свойства разносопротивляемости СПФ растяжению и сжатию на зависимость безразмерного прогиба балки от безразмерной продольной координаты для задачи о консольном изгибе. Для задачи о мартенситной неупругости (МН) установлено, что положение безразмерной координаты нейтральной плоскости для малых значений безразмерного изгибающего момента определяется отношением модулей упругости СПФ, соответствующих растяжению и сжатию. Аналогичная зависимость получена при решении задачи о прямом фазовом превращении (ПП) для малых значений параметра фазового состава.

О ПРЕДЕЛЬНЫХ ФОРМАХ РАВНОВЕСИЯ МОДЕЛИ ОДНОМЕРНОГО КОНТИНУУМА КОССЕРА С ПЛАСТИЧЕСКИМИ СВОЙСТВАМИ

В статье рассматриваются плоские формы равновесия модели одномерного континуума Коссера [1], построенной подобно моделям [2,3] на основе подхода механического (конструктивного) моделирования А.А. Ильюшина [4] в виде тонкого стержня с помещенными на его упругой линии на шарнирах массивными жёсткими включениями (шкивами), связанными между собой ременной передачей. Конструкция принимается способной деформироваться (изгибаться и растягиваться) в одной плоскости и обладающей следующими свойствами: свойства модели на растяжение, изгиб несущего стержня и взаимные повороты включений считаются упругими [5,6], свойства же в отношении моментных взаимодействий между несущим стержнем и включениями при их взаимных поворотах имеют вид идеальной пластичности [7,8] (типа сухого трения). Для такой модели проведена линеаризация уравнений движения для малых отклонений от прямолинейной недеформированной конфигурации. Исследованы постановки краевых задач статики (первой, второй и смешанной краевых задач), изучен вопрос существования и единственности их решений. Отмечено наличие при одних и тех же условиях бесконечного множества форм равновесия, выделены случаи единственности решений, соответствующие предельным формам равновесия, в которых момент взаимодействия несущего стержня и системы включений (имеющий вид сухого трения) достигает максимально допустимых (по модулю) значений. Рассмотрены примеры общего и частного характера: случай отсутствия распределённых нагрузок, случай свободных краёв стержня и свободных крайних включений, а также случай «самоуравновешенности» изгибного и передаточного моментов (суммарный момент равен нулю).

ВЛИЯНИЕ ДИССИПАЦИИ НА ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОУПРУГИХ ПОЛИМЕРНЫХ КОМПОЗИЦИЙ В ПЛОСКОМ КАНАЛЕ

Представлена математическая модель неизотермического течения неньтоновской жидкости в плоском канале. Отмечены все важные факторы, которые необходимо учитывать при разработке модели. Многие допущения были сделаны на основании того, что течение осуществляется при низких значениях критерия Рейнольдса и высоком значении критерия Пекле. Это позволяет пренебречь в уравнении движения инерционными членами и в уравнении энергии осевой теплопроводностью. В качестве реологической модели используется модель Фан-Тьен-Таннера. В связи с этим приведен обзор работ, появившихся за последние годы и посвященных исследованиям течения жидкостей с данной реологической моделью в каналах. Учитываются тепловые граничные условия первого рода и диссипация энергии. Температурная зависимость вязкости не учитывается. Температура среды на входе в канал и температура стенок канала не совпадают. Это означает, что композиция по мере течения в канале будет прогреваться как от горячих стенок канала, так и за счет диссипации энергии. Из уравнения движения с использованием данной реологической модели профиль скорости получается выраженным в явном виде. Решение уравнения энергии при нахождении температурных профилей проводилось численным методом конечных разностей. Приведены результаты расчетов. Показано значительное влияние чисел Вайсенберга и Бринкмана на профиль температуры и распределение числа Нуссельта вдоль канала. Отмечено также, что учет вязкоупругости при значительных значениях числа Вайсенберга ведет к снижению диссипативного разогрева среды. Это отражается и на профилях температуры и на локальной теплоотдаче на стенке канала. Из приведенных расчетов видно, что влияние высокоэластических свойств настолько велико, что пренебрежение вязкоупругими эффектами может привести к значительной ошибке.

ОЦЕНКА НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ УГЛЕРОД-УГЛЕРОДНЫХ КОМПОЗИТОВ ПРИ ПЛОСКОМ НАПРЯЖЁННОМ СОСТОЯНИИ

Проведена экспериментальная и теоретическая оценка несущей способности углерод-углеродных композиционных материалов с двумя различными структурными схемами армирования. Дано теоретическое обоснование предложенных подходов. Для ортотропного композита со сложной структурой армирования, находящегося в условиях плоского напряжённого состояния, выбран известный подход, базирующийся на расчёте макроструктурных напряжений в его компонентах. Экспериментально определены осреднённые упругие постоянные, предел прочности и предельные деформации композиционного материала в направлениях главных осей его упругой симметрии при нагружении на сжатие. По этим данным вычислены напряжения и деформации в главных осях слоя, и произведён расчёт макроструктурных напряжений. Полученные при расчёте значения использованы для оценки несущей способности матрицы посредством критериев прочности. Выбор критериев осуществлён исходя из предположения об изотропности матрицы. Рассмотрена приемлемость двух критериев прочности: критерия наибольших нормальных напряжений и критерия наибольших линейных деформаций. Показано, что расчётные значения предельного состояния матрицы весьма близки к разрушающим значениям для композита. Для оценки несущей способности углерод-углеродного композита с простой структурой армирования использован подход, основанный на оценке упругих и прочностных свойств композиционного материала и подстановки их значений в один из выбранных критериев прочности для анизотропных материалов, в качестве которого выбран критерий энергии формоизменения. Проверка приемлемости критерия энергии формоизменения к углерод-углеродным композитам осуществлена при совместном нагружении образцов материала на двухосное растяжение. Расчётные значения предельных напряжений сопоставлены с экспериментальными данными. Показана их хорошая согласованность.

РАСЧЕТ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ СТЕНКИ МНОГОСЛОЙНОЙ ТРУБЫ ИЗ НЕОДНОРОДНЫХ МАТЕРИАЛОВ

В условиях эксплуатации трубопроводов в холодном климате актуальна задача повышения теплозащиты стенок труб. В работе анализируются теплоизолирующие свойства стенки многослойной трубы в зависимости от соотношения толщин несущих (силовых) и теплоизолирующих слоев. Показано, как свойства вспененного полиэтилена, используемого в качестве материала для теплоизолирующего слоя, зависят от его пористости. Определение коэффициента теплопроводности вспененного полиэтилена основано на решении задачи теплопроводности. На одной из границ прямоугольной области задается поток тепла, а на противоположной границе – температура. Расчетная область рассматривается как представительный объем неоднородного материала, состоящей из непрерывной фазы, матрицы (полиэтилен) и армирующих включений (воздух). Высокая степень пористости в модели достигается за счет наполнения включениям различных размеров [1,2]. В этом случае между наиболее крупными включениями можно разместить более мелкие, и далее этот процесс продолжить за счет размещения еще более мелких включений. Задача о распределении температуры в неоднородном материале решается методом конечных элементов в плоской и объемной постановке. Реализация проводится с использованием различных стандартных и авторских пакетов программ.

ДЕЙСТВИЕ ПОДВИЖНОЙ НАГРУЗКИ НА УДЛИНЕННУЮ ТОНКОСТЕННУЮ КОНСТРУКЦИЮ С ЧАСТИЧНО РАЗРУШЕННЫМ ТЕПЛОЗАЩИТНЫМ ПОКРЫТИЕМ

Приближенно решена задача о динамическом деформировании двухслойной композиционной удлиненной тонкостенной конструкции под действием нормальной к ее оси подвижной инерционной нагрузки. Внутренний слой конструкции является несущим и обеспечивает ее прочность. Внешний слой представляет собой теплозащитное покрытие, частично разрушенное в процессе эксплуатации. Считается, что массовые характеристики обоих слоев соизмеримы между собой, а жесткостные характеристики защитного слоя малы по сравнению с соответствующими характеристиками несущей поверхности. Вследствие этого теплозащитное покрытие трактуется как инерционный слой, изменяющий только динамические свойства конструкции в целом. Отсек удлиненной конструкции моделируется балкой. Свойства теплозащитного покрытия входят в уравнение изгибных колебаний балки через силы инерции. Локальное повреждение описывается с помощью обобщенных функций. Подвижная нагрузка имитируется бесконечной равномерно распределенной нормальной погонной силой, движущейся вдоль балки с постоянной скоростью. Вследствие этого инерционные силы имеют более сложную структуру, чем в случае квазистатической постановки проблемы, когда прогиб балки зависит только от её продольной координаты. Задача сводится к дифференциальному уравнению изгибных колебаний балки в частных производных с разрывным по продольной координате коэффициентом. Скорость движения нагрузки входит в уравнение в качестве параметра. Для решения используется метод Бубнова, в соответствии с которым прогиб балки представляется в виде ряда по задаваемым координатным функциям с неизвестными коэффициентами, которые рассматриваются в качестве обобщённых координат. Задача сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно обобщенных координат, решение которой можно получить только численно. В частном случае слабого инерционного взаимодействия между разными формами колебаний балки эта система распадается на отдельные уравнения, из решения которых определяются парциальные частоты колебаний поврежденной конструкции. На основании динамического критерия устойчивости, приравнивая эти частоты к нулю, определяются критические скорости движения нагрузки. Даны примеры определения динамических прогибов конструкции, частот колебаний и критических скоростей в зависимости от величины зоны разрушения теплозащитного покрытия.

ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ПОЛЯ В СВЯЗНЫХ ЗАДАЧАХ О ПРЯМОМ ПРЕВРАЩЕНИИ В ЦИЛИНДРЕ И СФЕРЕ ИЗ СПЛАВОВ С ПАМЯТЬЮ ФОРМЫ

Решению проблемы о нахождении напряженно-деформированного состояния в краевых задачах для сферы и цилиндра из сплавов с памятью формы (СПФ) было посвящено ряд работ. В этих работах решения трактовались как решения несвязных задач, т.к. не были найдены соответствующие температурные поля. На самом деле, на основании методов, использованных в этих работах, и некоторых допущениях можно найти такое распределение температур, что полученные температурные поля и напряженно-деформированное состояние можно будет трактовать как решение однократно связной задачи. В данной работе были получены температурные поля в сфере и цилиндре из сплавов с памятью формы, материал которых первоначально находился в полностью аустенитном фазовом состоянии и претерпевает прямое мартенситное фазовое превращение под действием постоянного внутреннего и внешнего давлений. Также рассматривается постановка, где дополнительно помимо давления на цилиндр действует постоянная растягивающая продольная сила. При решении пренебрегается упругими и температурными деформациями по сравнению с фазово-структурными. Дополнительно считается, что объемная доля мартенситной фазы в каждый момент времени распределена по материалу равномерно. Помимо этого, рассматривается вопрос о сравнении полученных результатов для цилиндров под действие внутреннего/внешнего давления в двух постановках – при условии плоской деформации и при условии нулевой осевой силы. Также затрагивается тема о возможности сведения решения задачи для цилиндра и сферы в варианте, когда оба давления (внутреннее и внешнее) отличны от нуля, к решению задачи в варианте, когда одно из давлений равно нулю.

ИНЖЕНЕРНАЯ ТЕОРИЯ ДЕФОРМИРОВАНИЯ НЕОДНОРОДНЫХ ПЛАСТИН ИЗ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ

Для построения инженерной теории деформирования неоднородных пластин используется интегральная формула, по которой перемещения точек тела в исходной трехмерной задаче теории упругости неоднородного тела представляется через перемещения точек в такой же задаче, только для однородного упругого тела (сопутствующая задача). Из интегральной формулы вытекает эквивалентное представление перемещений в виде бесконечных рядов по производным от перемещений в сопутствующем однородном теле. Коэффициенты при производных в этих рядах называются структурными функциями композита. Они находятся из рекуррентных уравнений в области неоднородности упругих модулей. Структурные функции существенно зависят от того как описывается зависимость модулей упругости от координат точки тела. В том случае, когда свойства неоднородного тела совпадают со свойствами сопутствующего тела, все структурные функции обращаются в нуль. Предполагается, что мы умеем решать (аналитически или численно) вспомогательные задачи, то есть структурные функции считаются известными. Пусть исходное неоднородное тело представляет собой тонкую и жесткую пластину, у которой свойства меняются от точки к точке. Сопутствующее однородное тело также представляет собой пластину идентичную по геометрии исходной пластине и нагруженную точно так же, как и исходная пластина. Перемещения в сопутствующей пластине определяются приближенно, в соответствии с гипотезой Кирхгофа-Лява, через три компоненты вектора перемещений точек срединной поверхности. В соответствии с интегральной формулой и вытекающими из нее рядами, перемещения, деформации и напряжения в неоднородной пластине представлены рядами по всевозможным производным от перемещений срединной плоскости сопутствующей пластины. Коэффициенты рядов выражаются через структурные функции. Таким образом, в неоднородной пластине нормальное к срединной плоскости волокно после деформации меняет свою длину, перестает быть прямолинейным и перпендикулярным к срединной, деформированной поверхности. Характер и степень этих изменений зависит от типа неоднородности и описывается с помощью структурных функций. Затем, по продольным напряжениям, находятся внутренние силовые факторы, распределенные в срединной плоскости. Выражения для тензоров продольных сил и изгибающих моментов в срединной плоскости представлены в виде рядов по всевозможным частным производным возрастающего порядка от тензора деформаций и тензора кривизн срединной плоскости. В классической теории пластин внутренние силовые факторы выражаются непосредственно через продольные деформации и кривизны базовой поверхности. Эти соотношения называются определяющими соотношениями. В случае неоднородных пластин определяющие соотношения учитывают влияние на силовые факторы не только самих деформаций и кривизн срединной плоскости, но и их производных всех порядков. Коэффициенты при производных q-го порядка (q=0,1,2,…) являются тензорами q+4 ранга. Они называются жесткостями q-го порядка. Далее из уравнений равновесия для внутренних силовых факторов следуют уравнения для перемещений точек срединной плоскости. В общем случае эти уравнения представляют собой системы связанных дифференциальных уравнений бесконечного порядка. Затем эти уравнения сводятся к рекуррентным системам из трех связанных дифференциальных уравнений с эффективными коэффициентами (эффективные коэффициенты образуют тензоры жесткости). В неоднородной пластине к эффективным жесткостям относятся тензор продольных жесткостей, тензор изгибных жесткостей и два тензора жесткостей взаимного влияния. Все эффективные жесткости определяются через модули упругости и структурные функции нулевого и первого порядков неоднородной пластины. Начало рекурсии представляет собой систему из двух дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка для двух продольных перемещений и одного дифференциального уравнения в частных производных четвертого порядка для поперечного прогиба. Уравнения последующих рекурсий отличаются от начальной системы уравнений только входными данными, которые вычисляются через решения уравнений всех предыдущих рекурсий и через структурные функции. В однородном изотропном случае из всех рекуррентных систем остается только начало рекурсии. Уравнения перестают быть связанными. Перемещения в срединной плоскости описываются плоскими уравнениями Ламе, а прогиб пластины находится из классического уравнения Софи Жермен.

ЛИНЕЙНЫЙ УПРУГИЙ АНАЛИЗ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ОРТОГОНАЛЬНОЙ РЕШЁТКИ

Изучается напряженно-деформированное состояние регулярной упругой решётки, образованной из трех взаимно ортогональных семейств прямых однородных стержней. Для всех стержней используется модель Бернулли пространственно деформируемого стержня. Каждый из них имитируется прямой упругой линией, наделенной заданными жесткостями на растяжение-сжатие, кручение и изгиб в двух плоскостях. Главные центральные оси поперечных сечений стержней одного семейства параллельны упругим линиям стержней других семейств. Смежные стержни жестко связаны между собой в точках пересечения их упругих линий – узлах решётки. Регулярность решётки предполагает неизменность упруго-геометрических параметров стержней в пределах одного семейства. В общем случае внешняя нагрузка на решётку слагается из узловых сил и моментов и погонных сил и моментов стержней. Строгая линейная теория решётки построена с помощью метода склейки. Согласно этому методу решётка расчленялась на стержни и узлы – элементы решётки. К изолированным элементам прикладывались заданные внешние силы и моменты и силы и моменты взаимодействия их с соседями. Затем проводился аналитический упругий анализ стержней с учетом геометрических условий сопряжения смежных элементов и анализ равновесия узлов. Построенная теория сформулирована в терминах обобщенных узловых перемещений и обобщенных полных деформаций и начальных внутренних сил стержней. Все эти переменные – функции трех целочисленных аргументов, использованных для нумерации элементов решётки. Полная замкнутая система уравнений теории представлена геометрическими и физическими соотношениями, уравнениями равновесия узлов и уравнениями совместности полных деформаций. С их помощью даны альтернативные постановки дискретных краевых задач и рассмотрены некоторые их обобщения. Применение теории проиллюстрировано точным аналитическим решением задачи о деформировании произвольно нагруженной решётки с одним рядом внутренних узлов.

МОДЕЛИРОВАНИЕ РАССЛОЕНИЯ БИМАТЕРИАЛА С РАЗЛИЧНЫМИ УПРУГИМИ СВОЙСТВАМИ ПРИ НОРМАЛЬНОМ ОТРЫВЕ

Исследуется прочность структурированного биматериала с внутренней трещиной, расположенной в плоскости раздела сред, при нагружении по первой моде. Для аналитического исследования процесса разрушения применяется модифицированная модель Леонова-Панасюка-Дагдейла с использованием подхода Нейбера-Новожилова. Предлагаемая модифицированная модель использует дополнительный параметр – поперечник зоны пластичности (ширину зоны предразрушения) более слабого материала. Анализируются случаи, когда упругие характеристики и пределы текучести материалов различаются. Процесс разрушения такого композита описывается с помощью эквивалентного коэффициента интенсивности напряжений (модуля КИН), учитывающего существенную разнородность материалов. Получены формулы, в которых учтены конечные размеры образцов, для критической разрушающей нагрузки при нормальном отрыве и критической длины зоны предразрушения разнородного биматериала в условиях плоской деформации и плоского напряженного состояния. Выполнено численное моделирование распространения зон пластичности в квадратной биметаллической пластине с внутренней центральной трещиной при квазистатическом нагружении. В численной модели использована текущая лагранжева формулировка уравнений механики деформируемого твердого тела, наиболее предпочтительная для моделирования деформирования тел из упругопластического материала при больших деформациях. Методом конечных элементов получена пластическая зона в окрестности вершины трещины. Показано, что форма пластической зоны в биметалле существенно отличается от таковой в однородной среде. Проведено сравнение результатов аналитического и численного моделирования квазивязкого разрушения биматериала при плоской деформации. Таким образом, подтверждено приемлемое прогнозирование аналитической моделью длины зоны предразрушения и критической разрушающей нагрузки для любых длин трещин.