УДК:539.3
2017
Страницы: 585-601

ИНЖЕНЕРНАЯ ТЕОРИЯ ДЕФОРМИРОВАНИЯ НЕОДНОРОДНЫХ ПЛАСТИН ИЗ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ

Аннотация:

Для построения инженерной теории деформирования неоднородных пластин используется интегральная формула, по которой перемещения точек тела в исходной трехмерной задаче теории упругости неоднородного тела представляется через перемещения точек в такой же задаче, только для однородного упругого тела (сопутствующая задача). Из интегральной формулы вытекает эквивалентное представление перемещений в виде бесконечных рядов по производным от перемещений в сопутствующем однородном теле. Коэффициенты при производных в этих рядах называются структурными функциями композита. Они находятся из рекуррентных уравнений в области неоднородности упругих модулей. Структурные функции существенно зависят от того как описывается зависимость модулей упругости от координат точки тела. В том случае, когда свойства неоднородного тела совпадают со свойствами сопутствующего тела, все структурные функции обращаются в нуль. Предполагается, что мы умеем решать (аналитически или численно) вспомогательные задачи, то есть структурные функции считаются известными. Пусть исходное неоднородное тело представляет собой тонкую и жесткую пластину, у которой свойства меняются от точки к точке. Сопутствующее однородное тело также представляет собой пластину идентичную по геометрии исходной пластине и нагруженную точно так же, как и исходная пластина. Перемещения в сопутствующей пластине определяются приближенно, в соответствии с гипотезой Кирхгофа-Лява, через три компоненты вектора перемещений точек срединной поверхности. В соответствии с интегральной формулой и вытекающими из нее рядами, перемещения, деформации и напряжения в неоднородной пластине представлены рядами по всевозможным производным от перемещений срединной плоскости сопутствующей пластины. Коэффициенты рядов выражаются через структурные функции. Таким образом, в неоднородной пластине нормальное к срединной плоскости волокно после деформации меняет свою длину, перестает быть прямолинейным и перпендикулярным к срединной, деформированной поверхности. Характер и степень этих изменений зависит от типа неоднородности и описывается с помощью структурных функций. Затем, по продольным напряжениям, находятся внутренние силовые факторы, распределенные в срединной плоскости. Выражения для тензоров продольных сил и изгибающих моментов в срединной плоскости представлены в виде рядов по всевозможным частным производным возрастающего порядка от тензора деформаций и тензора кривизн срединной плоскости. В классической теории пластин внутренние силовые факторы выражаются непосредственно через продольные деформации и кривизны базовой поверхности. Эти соотношения называются определяющими соотношениями. В случае неоднородных пластин определяющие соотношения учитывают влияние на силовые факторы не только самих деформаций и кривизн срединной плоскости, но и их производных всех порядков. Коэффициенты при производных q-го порядка (q=0,1,2,…) являются тензорами q+4 ранга. Они называются жесткостями q-го порядка. Далее из уравнений равновесия для внутренних силовых факторов следуют уравнения для перемещений точек срединной плоскости. В общем случае эти уравнения представляют собой системы связанных дифференциальных уравнений бесконечного порядка. Затем эти уравнения сводятся к рекуррентным системам из трех связанных дифференциальных уравнений с эффективными коэффициентами (эффективные коэффициенты образуют тензоры жесткости). В неоднородной пластине к эффективным жесткостям относятся тензор продольных жесткостей, тензор изгибных жесткостей и два тензора жесткостей взаимного влияния. Все эффективные жесткости определяются через модули упругости и структурные функции нулевого и первого порядков неоднородной пластины. Начало рекурсии представляет собой систему из двух дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка для двух продольных перемещений и одного дифференциального уравнения в частных производных четвертого порядка для поперечного прогиба. Уравнения последующих рекурсий отличаются от начальной системы уравнений только входными данными, которые вычисляются через решения уравнений всех предыдущих рекурсий и через структурные функции. В однородном изотропном случае из всех рекуррентных систем остается только начало рекурсии. Уравнения перестают быть связанными. Перемещения в срединной плоскости описываются плоскими уравнениями Ламе, а прогиб пластины находится из классического уравнения Софи Жермен.

3

Ссылка:

Горбачев В.И. ИНЖЕНЕРНАЯ ТЕОРИЯ ДЕФОРМИРОВАНИЯ НЕОДНОРОДНЫХ ПЛАСТИН ИЗ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ // Механика композиционных материалов и конструкций - 2017 - Том 22 - №4 - c: 585-601
Уважаемые авторы! В связи с включением журнала «Механика композиционных материалов и конструкций» в базу данных Russian Science Citation Index (RSCI) на платформе
125040, Россия, Москва, Ленинградский пр., 7
+7 495 946-18-06, mkmk@iam.ras.ru